UP Board Class 10 Mathematics Notes : Trigonometry (Chapter Sixth), Part-V

Jul 10, 2017 10:45 IST

In this article you will get UP Board class 10th mathematics chapter wise notes for the chapter Trigonometry . Trigonometry is one of the most important chapter of UP Board class 10 mathematics. So, students must prepare this chapter thoroughly. The notes provided here will be very helpful for the students who are going to appear in UP Board class 10th mathematics Board exam 2018 and also in the internal exams. In this article we are covering these topic :

त्रिकोणमितीय सारणी :

विभिन्न व्यावहारिक स्थितियों में त्रिकोणमिति के परिणामी को लागू करने के लिए हमें विभिन्न कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों की आवश्यकता होती है । विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान दशमलव के कुछ स्थानो तक शुद्ध अभिकलित किये गये हैं । इस परिच्छेद में आप इन मानों से सम्बन्धित सारणियों का प्रयोग करने की विधि जान जायेंगे ।

पुस्तक में दो प्रकार की सारणियाँ दी गई है । यूँ तो इनमें दिये गये अधिकांश मान सन्निकट मान हैं परन्तु परिशुद्ध मान और सन्निकट मान में त्रुटि इतनी कम होती है कि पूरी सारणी में दिये गये सन्निकट मान की ही परिशुद्ध मान माना गया है । इस अध्याय के शेष भाग में भी हम इन त्रुटियों को उपेक्षा कर देगें, और सारणियों में दिये गये विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुपातों के सन्निकट मानों को ही परिशुद्ध मान मानेंगे ।

सारणी 1. इस सारणी में 10 - 10 मिनट के अन्तराल पर 0 से 90 तक के कोणों के सभी छ: त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान तीन अथवा चार दशमलव स्थानों तक शुद्ध दिये गये है । जैसा कि परिच्छेद में बताया जा चुका है हमें केवल 45 तक के ही मान देने की आवश्यकता होती है । इसके कुछ उदाहरण हम नीचे दे रहे हैं ।

हल सहित उदाहरण (Illustrative Examples) :

उदाहरण 1. सारणी I से sin 5 40' का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : इसके लिए हम सारणी के पहले स्तम्भ में 5 40’ देखते हैं । 5 40’ वाली पंक्ति में हम sine के स्तम्भ को देखते है । इनके मिलान बिन्दु पर हमें संख्या 0.0987 प्राप्त होती है ।

∴                                                             sin 5 40’ = 0.0987.

उदाहरण 2. cos 26 50’ जीन का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : हम पहले स्तम्भ में 26 50’ वाली पंक्ति को देखते है । 26 50’ वाली पंक्ति और cosine वाले स्तम्भ के मिलान बिन्दु पर हमें संख्या 0.8923. प्राप्त होती है ।

∴                          cos 26 50’ = 0.8923.

उदाहरण 3.  tan 47 30’  का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : हमारी सारणी में केवल 45 तक के मान दिये गये है । परन्तु अन्तिम स्तम्भ में कुछ प्रविष्टियाँ दी गई हैं जो 45  से अधिक है । किसी विशेष पंक्ति में पहले और अन्तिम स्तम्भ की प्रविष्टियाँ पूरक प्रविष्टियाँ हैं । अत: अन्तिम स्तम्भ में कहीं पर हमें 47 30’ प्राप्त होगा ।

47 30’ वाली पंक्ति में बायी ओर चलते चलते हमें पहले स्तम्भ में 42 30’ प्राप्त होता हैं । दूसरे शब्दों में हम यह कह सकते है कि 47 30' और उसका पूरक कोण 42 30' एक ही पंक्ति में होते है 420 30’ अन्तिम स्तम्भ मेँ होता है और 4230’ पहले स्तम्भ में होता हैं । क्योंकि tan (47 30’) = tan (90 – 42 30’) = cot 42 30’ इसलिए हमें cot 4230’ cotangent के स्तम्भ और 42 30’  को पंक्ति में प्राप्त होता है । इसकी संगत संख्या 1.0913 हैं ।

∴                                                             cot 42 30’ = 1.0913

अत:                                                       tan 47 30’ = 1.0913

प्राय : वास्तविक फलन (त्रिकोणमितीय अनुपात) को स्तम्भ के तल पर लिखा जाता है जिससे कि सारणी में इसे आसानी से पढ़ा जा सके । इस तरह, प्रत्येक स्तम्भ के सिरे पर फलन और तल पर सहफलन-युग्म अर्थात् सह-अनुपात लिखा जाता है ।

उदाहरण 4. cosec 68 20’ का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : हम 68 20’ के लिए अन्तिम स्तम्भ (column) को देखते हैं और तब इससे सम्बन्धित पंक्ति (row) को देखते हैं । sec के स्तम्भ में 68 20’ वाली पंक्ति में संगत संख्या 1.076 है ।

∴                          cosec 68 20’ = 1.076.

सारणी II. इनमें 1 के अन्तराल पर अर्थात् 6 ' के अन्तराल पर 0 से 90 तक के कोणों के सभी छ: त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान दशमलव के तीन अथवा चार स्थानो तक शुद्ध दिये गये है । अन्य सभी मामलों में यह सारणी I से काफी मिलती जुलती है ।

उदाहरण 5. sin (25.7) का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : हम पहले स्तम्भ में 25.7 की पंक्ति को देखते हैं और तब हम इसी पंक्ति और ऊपर लिखे sine के स्तम्भ में लिखी संख्या को पाते हैं । यह संख्या 0.4337 है ।

इस तरह,             sin (25.7)  = sin 25 42’ = 0.4337.

उदाहरण 6. Sec (51.4) का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : हम अन्तिम स्तम्भ में उस पंक्ति को देखते हैं जिसमें (51.4) है । इस पंक्ति में cosecant के स्तम्भ में संगत संख्या 1.6029 है ।

∴                          sec (51.4) = 1.6029.

टिप्पणी : केवल कुछ बटनों को दबाकर साइंटिफिक कैलकुलेटरों से (01) के अन्तराल पर कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान दशमलव के आठ अथवा दस स्थानों तक शुद्ध प्राप्त किये जा सकते है । कैलकुलेटरों में अन्य कार्यों के अतिरिक्त sin, cos, tan  और 1/x (जो व्युत्कम फलन x → 1/x को प्रकट करता है) की भी कुंजियाँ होती है । उदाहरण के लिए sin (23.72) का मान ज्ञात करने के लिए हमें केवल कैलकुलेटर को डिग्री विधा में रखना होता है । 23.72 प्रविष्ट करना होता है और sin बटन को दबाना होता है । ऐसा करने पर हमें उत्तर 0.4023 प्राप्त हो जाता है । sec (49.51) का मान ज्ञात करने के लिए हमें 49.51 प्रविष्ट करना होता है । इसके बाद cos बटन को दबाना होता है और अन्त में 1/x बटन को दबाना होता है

ऐसा करने पर कैलकुलेटर पर उत्तर 1.534 आ जाता है । जिन विद्यार्थियों के पास कैलकुलेटर हैं, उन्हें चाहिए कि कुछ व्यावहारिक प्रश्नों को हल करके कैलकुलेटर का प्रयोग करने का अभ्यास कर लें । यूँ तो आप लघुगणकीय सारणियों से परिचित हैं परन्तु उत्तम सन्निकट के साथ लघुगणकों का मान ज्ञात करने के लिए भी कैलकुलेटरों का प्रयोग किया जा सकता है ।

उदाहरण 7. 1 मीटर को त्रिज्या वाले वृत्त के अन्तर्गत बनाये गये एक समबहुभूज को एक भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जबकि बहुभुज (i) 24 भुजाओं, (ii) 100 भुजाओं वाला हो । आप अपना उत्तर सेंटीमीटर में एक दशमलव स्थान तक शुद्ध दीजिए ।

अर्थात् भुजा की लम्बाई 0.0628 मीटर या दशमलव के एक दशमलव स्थान तक शुद्ध 6.3 सेमी हैं

लघु उत्तरीय प्रश्न :

1. त्रिकोणमितीय सारणियों की सहायता से निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :

(i) sin 24 32’

(ii) cos 65 25’

(iii) sin 64 42’ + cos 42 20’

2. 15 सेमी त्रिज्या के वृत्त की जीवा AB केन्द्र O पर 131 का कोण बनाती है, जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।

4. 80 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के अन्तर्गत खींचे गये 25 भुजाओं वाले समबहुभुज को भुजा ज्ञात कीजिए ।

5. उस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कर्ण 6 सेमी हो और जिसका एक न्यूनकोण 77 का हो।

6. उस समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार 10 सेमी का हो और जिसका शीर्ष कोण 57 का हो ।

बहुविकल्पीय प्रश्नावली :

प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं। सही उत्तर छाँटकर लिखिए।


अतिलघु उत्तरीय प्रश्न:

सिद्ध कीजिए कि:

UP Board Class 10 Science Notes : Organic compounds, Part-VIII

UP Board Class 10 Mathematics Notes : Trigonometry (Chapter Sixth), Part-IV

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