कक्षा 10 UP Board गणित :सरल रेखाएँ,पार्ट-I

UP Board कक्षा 10 गणित के अध्याय 11-सरल रेखा का स्टडी नोट्स यहाँ उपलब्ध है| इस आर्टिकल में हमने टॉपिक्स के साथ उसके साल्व्ड प्रश्न उत्तर भी छात्रों को उपलब्ध किया है ताकि आप टॉपिक को अच्छी तरह समझ कर साथ ही साथ प्रैक्टिस भी कर पाएं|

इस अध्याय में हम विस्तारपुर्वक सरल रेखा और उसके समीकरणों का विधिवत अध्ययन करेंगे| हम उन विभिन्न प्रतिबंधों का ज्ञान प्राप्त करेंगे जिनके अंतर्गत प्राप्त बिन्दुपथ सरल रेखा है, साथ ही सरल रेखा के समीकरणों के भिन्न-भिन्न मानक रूपों का भी ज्ञान अर्जित करेंगे|

x – अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण जो उससे b दुरी पर है :

चित्र में X’OX तथा YOY’ क्रमश: x- अक्ष तथा y- अक्ष हैं| y-अक्ष पर बिंदु A इस प्रकार लीजिए कि OA = b जहाँ b एक निश्चित वास्तविक संख्या है| बिन्दु A से रेखा AB, x - अक्ष के समान्तर खिचिए| रेखा AB का समीकरण ज्ञात करना है| AB पर कोई बिन्दु P(x,y) लीजिए| बिन्दु P से रेखाखण्ड PM, x- अक्ष पर लम्ब खिचिए| हमें ज्ञात है कि किन्हीं भी दो समान्तर रेखाओं के बीच की दुरी सभी स्थान पर समान होती है| अत: PM = OA = b

      PM  =  y

       Y = b ……………..(i)

अत: रेखा AB का समीकरण y = b है|

यहाँ यह समझ लेना आवश्यक है कि समीकरण (1) बिन्दु P (x,y) के बिन्दुपथ AB को निरुपित करता है| स्पष्ट है कि समीकरण (1) में चर राशि x नही है| अत: x पर कोई भी प्रतिबन्ध नहीं है| इस प्रकार x का मान  से  तक कुछ भी हो सकता है अर्थात | यदि b धन संख्या है तो रेखा  अक्ष के ऊपर होगी ओर यदि b ऋण संक्या है तो  - अक्ष के नीचे होगी| यह बात समझना सरल है कि यदि  तो रेखा - अक्ष के संपाती होगी| अत: - अक्ष का समीकरण है|

y- अक्ष के समान्तर सरल रेखा का समीकरण जो उससे a दुरी है :

चित्र में X’OX तथा YOY’x, अक्ष तथा y- अक्ष हैं| x- अक्ष पर बिन्दु L इस प्रकार लीजिए कि OL = a, जहाँ a एक निश्चित वास्तविक संख्या है| बिन्दु L से y- अक्ष के समान्तर उससे a दुरी पर स्थित कोई रेखा AB खींचिए| AB पर कोई बिन्दु P(x,y) लीजिए| P से रेखाखण्ड PM, y- अक्ष पर लम्ब खींचिए|

हमें ज्ञात है कि किन्हीं भी दो समान्तर रेखाओं के बीच की दुरी सभी स्थान पर समान होती है|

MP = OL = a

चूँकि AB रेखा का समीकरण x = a है|

यदि a धन संख्या है तो रेखा AB के दाहिनी ओर होगी ओर यदि a ऋण संख्या है तो AB, y- अक्ष के बायीं ओर होगी| यदि a = 0 हो तो समीकरण (2) का रूप x = 0 होगा| स्पष्ट है कि इस स्थिति में रेखा AB,y- अक्ष से संपाती होगी |

अत: y-अक्ष का समीकरण x = 0 है|

उपप्रमेय: यदि रेखा AB, x- अक्ष की ऋण दिशा में है अर्थात y- अक्ष के बायीं ओर है तो उसका समीकरण x = -a होगा|

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: त्रिकोणमिति (चैप्टर-5),पार्ट-VI

रेखा का ढाल अथवा प्रवणता तथा अंत:खण्ड (Slope or Gradient of a Line and Intercepts) :

चित्र में X’OX तथा YOY’ क्रमश: x-अक्ष तथा y- अक्ष हैं| x-y तल पर दो बिन्दु P(x1, y1) तथा Q(x2,y2) लीजिए| P तथा Q से सरल PQ खींचिए जो x- अक्ष को क्रमश: बिन्दु A तथा B पर काटती है| मान लीजिए रेखा PQ, x- अक्ष की धनात्मक दिशा से θ कोण बनाती है अर्थात

P ओर Q से क्रमश: रेखाखण्ड PM तथा QN, x- अक्ष पर लम्ब खीचीए| बिन्दु P से रेखाखण्ड PL,QN पर लम्ब खिचिए| चित्र से स्पष्ट है कि

स्पष्ट है कि यदि रेखा x- अक्ष की धनात्मक दिशा से θ कोण बनाती है तो उस रेखा की प्रवणता  m = tanθ

सरल रेखा PQ,x- अक्ष को बिन्दु A पर काटती है| रेखाखण्ड OA की लम्बाई को रेखा PQ द्वारा x- अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड (intercept) कहते हैं| इसी प्रकार OB की लम्बाई को रेखा PQ द्वारा y- अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड कहते है| किसी रेखा द्वारा x-अक्ष तथा y- अक्ष पर काटे गये अंत:खण्ड का मान धन अथवा ऋण निर्धारति करने के नियम वही हैं जो x-अक्ष तथा y-अक्ष पर नापी जाने वाली दूरीयों के लिए हैं|

UP Board कक्षा 10 गणित चेप्टर नोट्स: सांख्यिकी(चैप्टर-5),पार्ट-II

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