UP Board Class 12 Mathematics-I Notes : Matrices(Chapter-1)

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1. परिभाषा (Definition)

mn संख्याओं (वास्तविक अथवा काल्पनिक) को m पंक्तियों तथा n स्तम्भों में व्यवस्थित करने पर जो आयताकार सारणी (Rectangular Array) प्राप्त होती है, उसे m×n आव्यूह कहते हैं|

अथवा

m n संख्याओं के ऐसे समुच्चय को जो m पंक्तियों तथा n स्तम्भों वाली आयताकार सारणी के रूप में व्यवस्थित होता है, m×n आव्यूह (m by n Matrix) कहते हैं|

याद रखिए (note):

 आव्यूह आयताकार सारणी के रूप में व्यवस्थित कुछ संख्याओं का एक समुच्चय मात्र है|

 आव्यूह का कोई संख्यात्मक मान नही होता है|

* आव्यूह के अवयव (Elements of a Matrix):

कोई आव्यूह जिन संख्याओं से निर्मित होता है, उन्हें उस आव्यूह के अवयव कहते हैं|

I. आव्यूह के अवयवों को कोष्ठक  के अन्दर लिखा जाता है|

I. आव्यूह का क्रम लिखते समय पहले सदैव पंक्तियों की संख्या तथा इसके बाद स्तम्भों की संख्या लिखी जाती है|

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II. यदि किसी आव्यूह का क्रम है तो उस आव्यूह में पंक्तियों की संख्या = m तथा स्तम्भों की संख्या = n.

III. आव्यूह में पंक्तियों तथा स्तम्भों की संख्या बराबर होना आवश्यक नहीं है|

IV. आव्यूह किसी आव्यूह में m पंक्तियों तथा n स्तम्भ है तो उस आव्यूह में अवयवो की संख्या = पंक्तियों की संख्या × स्तम्भों की संख्या = mn

UP Board Class 12 Mathematics Long Answer Solved Practice Paper Second Set -I

2. आव्यूह का निरूपण (Representation of a Matrix)

आव्यूह को प्राय: अंग्रेज़ी वर्णमाला के बड़े अक्षरों A,B,C…….से तथा इनके संगत छोटे अक्षरों के साथ द्वि-अनुलग्न लगाकर आव्यूह के अवयवों को निरुपित किया जाता है जबकि द्वि-अनुलग्न (Double Suffix) का पहला अंक सदैव उस पंक्ति की संख्या को एवं दूसरा अंक सदैव उस स्तम्भ की संख्या को व्यक्त करता है जिसमें अवयव है|

अदिश आव्यूह (Scalar Matrix) : ऐसा विकर्ण आव्यूह जिसके सभी विकर्ण तत्व समान होते हैं| अदिश आव्यूह कहलाता है|

                                     अथवा

ऐसा वर्ग आव्यूह जिसके विकर्ण के सभी अवयव समान तथा शेष सभी अवयव शून्य होते हैं, अदिश आव्यूह कहलाता है|

याद रखिए (Note) :

1. प्रत्येक इकाई आव्यूह एक अदिश आव्यूह होता है|

2. प्रत्येक अदिश आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह होता है|

उपरित्रिभुजीय आव्यूह (Upper Triangular Matrix) :

ऐसा वर्ग आव्यूह जिसके मुख्य विकर्ण के नीचे सभी अवयव शून्य होते हैं, उपरित्रिभुजीय आव्यूह कहलाता है|

निम्न त्रिभुजीय आव्यूह (lower triangle matrix) :

ऐसा वर्ग आव्यूह जिसके मुख्य विकर्ण के ऊपर सभी अवयव शून्य होते हैं, निम्न त्रिभुजीय आव्यूह कहलाता है|

         (3). A में पंक्तियों की संख्या = B में पंक्तियों की संख्या

        अर्थात                m = r

         (4). A में स्तम्भों की संख्या = B में स्तम्भों की संख्या

        अर्थात                 n = s

5. अव्युहों का योग (Addition of matrices) :

यदि A और B समान क्रम के दो आव्यूह हैं तो इनका योगफल (A+B) उसी क्रम का एक ऐसा आव्यूह होता है जो A तथा B के संगत अवयवों को जोड़ने पर प्राप्त होता है|

उदाहरण :

 

UP Board Class 12 Mathematics Long Answer Solved Practice Paper First: Set -I


 

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